Kapitalwert Einer Investition Berechnen Beispiel Essay

Statt wie bei der Endwertmethode Einzahlungsüberschüsse auf das Ende der Laufzeit aufzuzinsen, werden diese nach der Kapitalwertmethode auf den Beginn der Laufzeit heruntergerechnet, d.h. abgezinst.

Hier klicken zum Ausklappen Bei der Kapitalwertmethode wird abgezinst. Mit anderen Worten stellt man sich die Frage: wie viel sind die Gewinne aus der Investition am Anfang der Laufzeit wert?

Dieses Vorgehen führt auf dem vollkommenen Kapitalmarkt zu dem so genannten Kapitalwert.

Formel zur Berechnung des Kapitalwerts

Hier klicken zum Ausklappen Kapitalwert $$\ C_0 = \sum_{t=0}^{n}{E_t-A_t \over (1+i)^t}= \sum_{t=0}^{n}(E_t-A_t) \cdot (1+i)^{-t} $$


Beispiel zur Berechnung des Kapitalwerts

Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 10:
Zur Erinnerung der Sachverhalt aus Beispiel 8 :
Dem A wird folgende Investition angeboten: Anfangsauszahlung heute 800 €, 1.840 € Einzahlung ein Jahr später, Auszahlung zum Schluss 1.056 €. Gerechnet wird mit einem Kalkulationszins von 5 %.

Berechne im vorliegenden Beispiel den Kapitalwert!

Man rechnet also

$\ C_0 = -800 + 1.840 \cdot 1,05^-1 – 1.056 \cdot 1,05^-2 = -5,44 $.

Als Einzelentscheidung führt man eine Investition genau dann durch, wenn ihr Kapitalwert echt größer als null ist:

$\ C_0 > 0 \ldots $ Investition vorteilhaft
$\ C_0 < 0 \ldots $ Investition ist nachteilhaft
Für die Auswahlentscheidung bei mehreren Alternativen gilt:

$\ C^A_0 > C^B_0 \ldots $ A ist besser als B

Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 11:
Berechne die Kapitalwerte der Investitionen $\ I_1,\ I_2 $ und $\ I_3 $ bei einem Kalkulationszins von $11 %$!

Die folgende Tabelle enthält die jeweiligen Kapitalwerte. Die Endwerte hatten wir weiter oben ausgerechnet.

Wir sehen hier die Äquivalenz des Kapitalwerts und des Endwerts, denn beide haben klarerweise dasselbe Vorzeichen:

Investition Kapitalwert $\ C_0 $ Endwert $\ C_n $
$\ I_1 $-747,59-921,1
$\ I_2 $233,11318,81
$\ I_3 $-4,5-5


Tab. 8: Vergleich von Endwert und Kapitalwert

Zinseszinsformel

Dies liegt an der Zinseszinsformel:

Hier klicken zum Ausklappen Zinseszinsformel $\ C_n = C_0 \cdot (1 + i)^n $

Der Endwert Cn ist damit nichts anderes als der aufgezinste Kapitalwert $\ C_0 $. Wir rechnen die Zinseszinsformel am Beispiel nach:

Investition 1: $\ -747,59 \cdot 1,11^2 = -921,10 $,
Investition 2: $\ 233,11 \cdot 1,11^3 = 318,81 $ und
Investition 3: $\ -4,5 \cdot 1,11^1 = -5 $.
Man kann damit die Endwerte aus den Kapitalwerten berechnen und die Kapitalwerte aus den Endwerten.

Hier klicken zum Ausklappen Die Vorteilhaftigkeitsaussagen des Kapitalwerts und des Endwerts ein- und derselben Investition sind vollkommen gleich: $\ C_n \geq 0 \Leftrightarrow C_0 \geq 0 $. Wenn der eine Wert größer oder gleich Null ist, dann ist es der andere auch – und umgekehrt. Die Vorteilhaftigkeitsaussagen sind also vollkommen identisch.
Es ist vollkommen identisch, ob zwei Investitionen dadurch verglichen werden, dass sie
  • auf den Zeitpunkt $t = 0$ abgezinst werden,
  • oder dadurch, dass sie auf den Zeitpunkt $t = n$ aufgezinst werden.
Mit dem Kapitalwert lassen sich auch Auswahlentscheidungen treffen, d.h. man kann mehrere Investitionen miteinander vergleichen.
Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 12: Gegeben seien die beiden folgenden Investitionen. Der Kalkulationszins sei $9 %$.
Jahr 0 1 2 3
Zahlungsreihe A-1000800300400
Zahlungsreihe B-1000300800200

Vergleiche die beiden Investitionen anhand ihrer Kapitalwerte!

Es ist $\ C^A_0 = -1.000 + {800 \over 1,09}+ {300 \over 1,09^2}+ {400 \over 1,09^3}=295,32 $ , ebenso
$\ C^B_0 = -1.000 + {300 \over 1,09}+{800 \over 1,09^2}+{200 \over 1,09^3}=103,01 $.

Offensichtlich erwirtschaftet die erste Investition den höheren Kapitalwert. Dies liegt daran, dass die Zahlungen früher rein fließen (die 800 € erscheinen bei A schon in $t = 1$ statt erst in $t = 2$ wie bei Investition B) und außerdem in $t = 3$ der Rückfluss höher ist.

Man kann sich die Frage nach den Unterschieden in den beiden Zahlungsreihen stellen, wir reden über die so genannte Differenzinvestition A - B. Hierbei ist die Investition B die so genannte Basisinvestition (bei der Differenzinvestition B - A wäre A die Basisinvestition).

Zahlungsreihe der Differenzinvestition 

Die Zahlungsreihe von A - B ist

Jahr 0 1 2 3
Zahlungsreihe Differenzinvestition A - B0500-500200


Tab. 9: Zahlungsreihe Differenzinvestition A - B

Der Kapitalwert dieser Zahlungsreihe liegt bei $\ C_0^{A - B} = 192,31\ € $. Er entspricht damit der Differenz der Kapitalwerte der einzelnen Investitionen, d.h. $\ C^A_0 - C^B_0 = 295,32 - 103,01 = 192,31\ € $.


Kapitalwert der Differenzinvestition

Der Kapitalwert der Differenzinvestition A-B, also $\ C_0^{A - B} $, ist gleich der Differenz der einzelnen Kapitalwerte $\ C^A_0 $ und $\ C^B_0 $, d.h. es gilt $\ C_0^{A – B} = C^A_0 - C^B_0 $.

Wir benötigen im folgenden den Begriff der so genannten Normalinvestition, der speziell für den internen Zinsfuß $\ i^* $ sehr wichtig ist.

Eine Normalinvestition liegt vor, wenn am Anfang lediglich Auszahlungen erfolgen und irgendwann nur noch Einzahlungsüberschüsse reinfließen. Es findet somit in der Zahlungsreihe genau ein Vorzeichenwechsel statt.

Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 13:

Jahr 0 1 2 3 4 5 Normalinvestition?
I1-500-30010100505ja
I2-300103040--ja
I3-1001-2010030-nein
I4-50100100100100-10nein


Tab. 10: Normalinvestitionen und Nicht-Normalinvestitionen

Die erste und die zweite Investition, also $\ I_1 $ und $\ I_2 $, sind Normalinvestitionen, da genau ein Vorzeichenwechsel von „-“ nach „+“ stattfindet, die letzten beiden hingegen, also $\ I_3 $ und $\ I_4 $, sind Nicht-Normalinvestitionen, da zwei Vorzeichenwechsel passieren. Es existiert außerdem der Begriff der regulären Investition:

Eine reguläre Investition ist dadurch gekennzeichnet, dass die kumulierte Zahlungsreihe genau einen Vorzeichenwechsel aufweist.

Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 14:
Entscheide, ob folgende Investition regulär ist:
Jahr 0 1 2 3 4
Einzahlungsüberschuss-150100-50200-30
Kumulierte Einzahlungsüberschüsse-150-50-10010070

Man sieht, dass die Investition keine Normalinvestition ist, denn die (unkumulierte) Zahlungsreihe hat mehr als einen Vorzeichenwechsel (nämlich genau vier). Lediglich die kumulierte Zahlungsreihe wechselt genau einmal ihr Vorzeichen, nämlich von der dritten zur vierten Periode.

Wenn hingegen die (unkumulierte) Zahlungsreihe lediglich einen Vorzeichenwechsel besitzt, so verfügt die kumulierte Zahlungsreihe höchstens einen Vorzeichenwechsel:

Jahr 0 1 2 3 4
Einzahlungsüberschuss-150-10050300100
Kumulierte Einzahlungsüberschüsse-150-250-200100200

Tab. 11: Unkumulierte und kumulierte Zahlungsreihe bei Normalinvestition

Sie könnte auch keinen Vorzeichenwechsel aufweisen:

Jahr 0 1 2 3 4
Einzahlungsüberschuss-20020304060
Kumulierte Einzahlungsüberschüsse-200-180-150-110-50


Tab. 12: Kumulierte Zahlungsreihe hat keinen Vorzeichenwechsel

Hier klicken zum Ausklappen Jede Normalinvestition ist regulär oder besitzt keinen Vorzeichenwechsel, aber nicht jede reguläre Investition ist eine Normalinvestition.

Video zur Kapitalwertmethode

Video: Kapitalwertmethode

Kapitalwertmethode Grundlagen

Die Kapitalwertmethode berechnet für eine Investition den Kapitalwert: den mit einem sogenannten Kalkulationszinsfuß abgezinsten Betrag aller mit der Investition verbundenen Ein- und Auszahlungen (Zahlungsstrom).

Ist der ermittelte Kapitalwert

  • positiv (> 0), ist die Investition vorteilhaft ("lohnt sich");
  • gleich 0, dann erzielt die Investition zumindest die geforderte Mindestrendite ("lohnt sich gerade noch");
  • negativ (< 0), ist die Investition nicht vorteilhaft und sollte unterbleiben (das Geld kann an anderer Stelle ertragreicher investiert werden).

Bei der "Investition" kann es sich um eine Maschine, Immobilien, Wertpapiere, Projekte (z.B. die Entwicklung eines neuen Automodells) oder ganze Unternehmen handeln: sie lassen sich alle durch eine Reihe von Ein- und Auszahlungen abbilden.

Die Kapitalwertmethode arbeitet bei der Berechnung mit einem Kalkulationszinssatz, der die beste verfügbare Alternativinvestition abbildet (z.B.: legt ein Investor Geld auf der Bank an, bekommt er sichere 4 % Zinsen pro Jahr). Die Höhe des Kalkulationszinssatzes ist vom Risiko des Investments abhängig. Je höher das erwartete Risiko, desto höher der Kalkulationszinsfuß.

Alternative Begriffe für Kapitalwert bzw. Kapitalwertmethode: Barwertmethode, Kapitalwertberechnung, Net Present Value (kurz: NPV)

Abbildung einer Investition

Die Darstellung einer Investition erfolgt mittels der Angabe aller mit der Investition verbundenen (geplanten) Einzahlungen und Auszahlungen in den jeweiligen Perioden (z.B. Geschäftsjahre).

Zahlungen! — es wird mit Geld gerechnet

Die Kapitalwertmethode rechnet also mit Einzahlungen und Auszahlungen und nicht mit z.B. Erträgen und Aufwendungen (wie die Buchführung).

So ist z.B. der Kaufpreis für eine Maschine in Höhe von 100.000 Euro eine Auszahlung, aber kein Aufwand. Dafür sind die Abschreibungen auf die Maschine Aufwand, führen aber zu keiner Auszahlung.

Kapitalwert

Das Entscheidungskriterium für die Vorteilhaftigkeit einer Investition ist der Kapitalwert. Der Kapitalwert berechnet sich wie folgt:

Barwert aller Periodenüberschüsse
-Investitionsauszahlung
=Kapitalwert

Man ermittelt den Barwert einer Zahlungsreihe als Summe

  • aller vor dem Bezugszeitpunkt (der Zeitpunkt, von dem aus man die Investition betrachtet; z.B. das heutige Datum oder der 1. Januar eines Geschäftsjahrs) anfallenden und bis zum Bezugszeitpunkt aufgezinsten Zahlungen sowie
  • aller nach dem Bezugszeitpunkt anfallenden und auf den Bezugszeitpunkt abgezinsten Zahlungen.

Entscheidungskriterium

Eine Investition ist vorteilhaft, wenn der Kapitalwert positiv ist. Bei einem negativen Kapitalwert sollte die Investition unterbleiben.

Kapitalwertmethode Beispiel

Die Anwendung der Kapitalwertmethode soll an einem sehr einfachen Rechenbeispiel erläutert werden.

Beispiel: Durchführung der Kapitalwertmethode

Kapitalwertberechnung — Sachverhalt

Zum 31. Dezember 2009 erwirbt Herr Meier eine Immobilie zum Preis von 100.000 Euro von einem Immobilienentwickler als kurzfristige Kapitalanlage bzw. Investition.

Herr Meier rechnet aufgrund der steigenden Preise auf dem Immobilienmarkt mit einem möglichen Verkauf der Immobilie zum 31. Dezember 2011 zum Preis von 110.000 Euro.

Der Kalkulationszinssatz – d.h., der Zinssatz, zu dem Herr Meier Geld (z.B. bei der Bank) aufnehmen oder anlegen könnte – beträgt 5 %.

Hinweis: Kalkulationszinssatz

Da die Immobilie gegenüber einer Bankanlage ggf. riskanter ist – steigen die Immobilienpreise wirklich, wie von Herrn Meier erwartet? findet er überhaupt einen Käufer? – wird er evtl. eine zusätzliche Risikoprämie veranschlagen, so dass sein Kalkulationszinssatz dann über dem (sicheren) Bankzinssatz liegen und z.B. 7 % betragen könnte.

Fragestellung: Ist der Immobilienerwerb vorteilhaft?

Für die Beurteilung der Frage wird die Kapitalwertmethode angewendet.

Der Kapitalwert ergibt sich, indem von der Summe der diskontierten Barwerte die Investitionsauszahlung abgezogen wird.

Der Barwert der "Zahlungsreihe" (hier liegt nur eine einzige Einzahlung am 31. Dezember 2011 in Höhe von 110.000 Euro vor) beträgt: 110.000 Euro / 1.052 = 99.773 Euro.

Zieht man hiervon die Investitionsauszahlung in Höhe von 100.000 Euro ab, ergibt sich ein negativer Betrag (der Kapitalwert) in Höhe von -227 Euro.

Barwert aller Periodenüberschüsse99.773 €
-Investitionsauszahlung100.000 €
=Kapitalwert-227 €

Die Investition in die Immobilie ist nicht vorteilhaft bzw. empfehlenswert, da der Kapitalwert negativ ist. Der negative Kapitalwert bedeutet, dass die Investition die durch den Kalkulationszinsfuß abgebildete Mindestverzinsung in Höhe von 5 % nicht erreicht.

Man weiß nun, dass die Verzinsung unter 5 % liegt — wenn man die genaue Verzinsung in % haben möchte, wendet man die Interne Zinsfußmethode an.

Kontrollrechnung

Würde Herr Meier die 100.000 Euro verzinst mit 5 % bei der Bank anlegen, ergäbe sich nach 2 Jahren (inkl. Zinseszins) ein Betrag in Höhe von 110.250 Euro (100.000 Euro × 1,052). Das ist mehr, als die 110.000 Euro aus dem Verkaufserlös der Immobilie.

D.h., eine anderweitige Anlage zu 5 % führt zu einem höheren Ergebnis als die Investition in die Immobilie.

Für ein weiteres Beispiel zur Berechnung des Kapitalwerts einer Zahlungsreihe vgl. den Beitrag Barwert.

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